Ve své bakalářské práci uvažuji slavnou Reesovu větu pro úplně jednoduché pologrupy a dokazuji tvrzení, které je možné považovat za její analogii pro konečné uspořádané úplně jednoduché pologrupy. Za tímto účelem poukazuji na charakterizaci úplně jednoduchých pologrup pomocí Reesových maticových pologrup. Poté zavádím nové struktury, které nazývám maticové pologrupy s indukovaným uspořádáním, a ukazuji, že každá konečná uspořádaná úplně jednoduchá pologrupa (obecněji, každá uspořádaná pologrupa isomorfní s uspořádanou normalizovanou Reesovou maticovou pologrupou nad konečnou grupou) je s nějakou takovou strukturou isomorfní.
Podávám příhodný popis isomorfismu mezi dvěma libovolnými rektangulárními grupami nad konečnou grupou, což mi umožňuje určit počty C_ORB(n) všech neisomorfních uspořádaných rektangulárních bandů a počty C_ORG(n) všech neisomorfních uspořádaných rektangulárních grup řádu n pro n <= 16 a to za využití známých výsledků o počtech neisomorfních uspořádaných množin a neisomorfních grup řádů k <= n. Zdůvodňuji, že pro každé n z množiny {1,2,... ,15}-{8,12} udává C_ORG(n) zároveň počet všech neisomorfních uspořádaných úplně jednoduchých pologrup odpovídajícího řádu. Navíc zjišťuji i počty C_RB(n) všech neisomorfních rektangulárních bandů řádu n pro n <= 1000000 a počty C_RG(n) všech neisomorfních rektangulárních grup řádu n pro n <= 2047.
Anotace v angličtině
In my bachelor thesis I consider the famous Rees's theorem for completely simple semigroups and prove a theorem that could be thought of as its analogy for finite ordered completely simple semigroups. For this purpose, I point out the characterization of completely simple semigroups by Rees matrix semigroups. I then define new structures called matrix semigroups with induced order and show, that every finite ordered completely simple semigroup (more generally, every ordered semigroup isomorphic to an ordered normalized Rees matrix semigroup over a finite group) is isomorphic to such strucutre.
I also conveniently describe the isomorphism between two arbitrary ordered rectangular groups over a finite group, which allows me to count the numbers C_ORB(n) of all non-isomorphic ordered rectangular bands and the numbers C_ORG(n) of all non-isomorphic ordered rectangular groups of order n for n <= 16 using the known result of the number of non-isomorphic ordered sets and non-isomorphic groups of orders k <= n. I show that for every n in {1,2,... ,15}-{8,12} is C_ORG(n) also the number of all non-isomorphic ordered completely simple semigroups of corresponding order. Moreover, I count the numbers C_RB(n) of all non-isomoprhic rectangular bands of order n for n <= 1000000 and the number C_RG(n) of all non-isomoprhic rectangular groups of order n for n <= 2047.
Klíčová slova
Reesovy maticové pologrupy, uspořádané úplně jednoduché pologrupy, isomorfismus uspořádaných pologrup, počítání uspořádaných struktur
Ve své bakalářské práci uvažuji slavnou Reesovu větu pro úplně jednoduché pologrupy a dokazuji tvrzení, které je možné považovat za její analogii pro konečné uspořádané úplně jednoduché pologrupy. Za tímto účelem poukazuji na charakterizaci úplně jednoduchých pologrup pomocí Reesových maticových pologrup. Poté zavádím nové struktury, které nazývám maticové pologrupy s indukovaným uspořádáním, a ukazuji, že každá konečná uspořádaná úplně jednoduchá pologrupa (obecněji, každá uspořádaná pologrupa isomorfní s uspořádanou normalizovanou Reesovou maticovou pologrupou nad konečnou grupou) je s nějakou takovou strukturou isomorfní.
Podávám příhodný popis isomorfismu mezi dvěma libovolnými rektangulárními grupami nad konečnou grupou, což mi umožňuje určit počty C_ORB(n) všech neisomorfních uspořádaných rektangulárních bandů a počty C_ORG(n) všech neisomorfních uspořádaných rektangulárních grup řádu n pro n <= 16 a to za využití známých výsledků o počtech neisomorfních uspořádaných množin a neisomorfních grup řádů k <= n. Zdůvodňuji, že pro každé n z množiny {1,2,... ,15}-{8,12} udává C_ORG(n) zároveň počet všech neisomorfních uspořádaných úplně jednoduchých pologrup odpovídajícího řádu. Navíc zjišťuji i počty C_RB(n) všech neisomorfních rektangulárních bandů řádu n pro n <= 1000000 a počty C_RG(n) všech neisomorfních rektangulárních grup řádu n pro n <= 2047.
Anotace v angličtině
In my bachelor thesis I consider the famous Rees's theorem for completely simple semigroups and prove a theorem that could be thought of as its analogy for finite ordered completely simple semigroups. For this purpose, I point out the characterization of completely simple semigroups by Rees matrix semigroups. I then define new structures called matrix semigroups with induced order and show, that every finite ordered completely simple semigroup (more generally, every ordered semigroup isomorphic to an ordered normalized Rees matrix semigroup over a finite group) is isomorphic to such strucutre.
I also conveniently describe the isomorphism between two arbitrary ordered rectangular groups over a finite group, which allows me to count the numbers C_ORB(n) of all non-isomorphic ordered rectangular bands and the numbers C_ORG(n) of all non-isomorphic ordered rectangular groups of order n for n <= 16 using the known result of the number of non-isomorphic ordered sets and non-isomorphic groups of orders k <= n. I show that for every n in {1,2,... ,15}-{8,12} is C_ORG(n) also the number of all non-isomorphic ordered completely simple semigroups of corresponding order. Moreover, I count the numbers C_RB(n) of all non-isomoprhic rectangular bands of order n for n <= 1000000 and the number C_RG(n) of all non-isomoprhic rectangular groups of order n for n <= 2047.
Klíčová slova
Reesovy maticové pologrupy, uspořádané úplně jednoduché pologrupy, isomorfismus uspořádaných pologrup, počítání uspořádaných struktur
1) Prezentovat základní poznatky o úplně jednoduchých pologrupách, především Reesovu větu.
2) Definovat uspořádanou maticovou pologrupu a pokusit se zformulovat a dokázat analogii Reesovy věty pro uspořádané úplně jednoduché pologrupy.
3) Věnovat se enumeraci uspořádaných úplně jednoduchých pologrup, příp. i za využití výpočetní techniky.
Zásady pro vypracování
1) Prezentovat základní poznatky o úplně jednoduchých pologrupách, především Reesovu větu.
2) Definovat uspořádanou maticovou pologrupu a pokusit se zformulovat a dokázat analogii Reesovy věty pro uspořádané úplně jednoduché pologrupy.
3) Věnovat se enumeraci uspořádaných úplně jednoduchých pologrup, příp. i za využití výpočetní techniky.
Seznam doporučené literatury
1) T.S.Blyth; Lattices and Ordered Algebraic Structures; Springer Verlag London, 2005
2) Mario Petrich, Norman R. Reilly; Completely Regular Semigroups; Wiley 1999
3) Gérard Lallement; Semigroups and Combinatorial Applications; Pennsylvania State University, 1979
4) J. M. Howie; An Introduction to Semigroup Theory; University of St. Andrews, Scotland, Academic Press 1976
Seznam doporučené literatury
1) T.S.Blyth; Lattices and Ordered Algebraic Structures; Springer Verlag London, 2005
2) Mario Petrich, Norman R. Reilly; Completely Regular Semigroups; Wiley 1999
3) Gérard Lallement; Semigroups and Combinatorial Applications; Pennsylvania State University, 1979
4) J. M. Howie; An Introduction to Semigroup Theory; University of St. Andrews, Scotland, Academic Press 1976