1. Základní pojmy - parciální diferenciální rovnice ( PDR), lineární a nelineární rovnice, pojem klasického řešení, základní úlohy pro PDR. 2. Rovnice 1.řádu - homogenní lineární rovnice v rovině, charakteristický systém, počáteční úloha, existenční věta, homogenní lineární rovnice v prostoru vyšší dimenze. 3. Rovnice druhého řádu - Cauchyho úloha, existence a jednoznačnost řešení, charakteristická rovnice. 4. Klasifikace rovnic druhého řádu - klasifikace lineárních rovnic v rovině, převedení rovnic v rovině na kanonický tvar, rovnice s konstantními koeficienty, rovnice v prostoru vyšší dimenze. 5. Odvození některých vybraných rovnic matematické fyziky - rovnice vedení tepla, rovnice difúze, rovnice kmitání struny a další vlnové rovnice, Laplaceova rovnice. 6. Základní metody řešení vybraných rovnic - vlnová rovnice na přímce - věta o jednoznačnosti, fundamentální řešení, klasické řešení Cauchyho úlohy, D'Alambetrův , Poissonův a Kirchhoffův vzorec, Fourierova metoda ; rovnice vedení tepla - fundamentální řešení, Poissonův vzorec, Cauchyho úloha pro homogenní i nehomogenní rovnici, věta o jednoznačnosti , princip maxima pro Cauchyho i Dirichletovu okrajovou úlohu pro rovnici vedení tepla ; Laplaceova a Poissonova rovnice ve dvou a třech dimenzích - fundamentální řešení, harmonické funkce, věta o průměru, princip maxima, Dirichletova a Nemannova úloha, existence klasického řešení Dirichletovy úlohy, řešení pro kouli.
|
Posluchač se seznámí se základy teorie parciálních diferenciálních rovnic. Naučí se řešit rovnice prvého řádu metodou charakteristik. Informativně se probere rozdělení rovnic druhého řádu na eliptické, parabolické a hyperbolické. Demonstruje se odvození rovnici z fyzikálních jevů. Dále se vyloží nejdůležitější fakta o Laplaceově rovnici (harmonické funkce a věta o průměru, fundamentální řešení, Dirichletova a Neumannova úloha, řešení pro kouli), rovnici vedení tepla (fundamentální řešení, počáteční a okrajová úloha, Fourierova metoda) a vlnové rovnici (počáteční úloha, D'Alembertův, Poissonův a Kirchhoffův vzorec, Fourierova metoda). Zmíní se základní rozdíly mezi kvalitativním chováním řešení rovnice vedení tepla a vlnové rovnice.
|
-
Doktor, P. Moderní metody řešení parciálních diferenciálních rovnic, SPN Praha, 1975.
-
John, O., Nečas, J. Rovnice matematické fyziky, SPN Praha, 1982.
-
Petrovskij, I.G. Parciální diferenciální rovnice, Přírodovědecké vydavatelství Praha, 1952.
|